System Modeling: Euler's equation(rigid body)

Dynamic system

  Dynamic system은 계의 변화를 몇 가지 규칙에 의해서 나타내는 계를 의미한다. 이때, 만약 이 규칙이 1차 미분 방정식으로 표현되는 규칙이라고 한다면 문제가 단순화 된다. 따라서 이 간단한 형태를 이용해서 설명하고자 한다.

first-order differential equation

  위에 예시로 나와있는Dynamic system을 구성하는 요소들과 무엇을 의미하는지 정리하고 위 식을 살펴보고자 한다. 

x(t): state vector로 시간에 따라 바뀌는 여러 변수들의 집합이다.

u(t): external input으로 시간에 따라서 바뀌는 외부에서의 영향이다.

f: f는 state vector의 시간에 따른 미분 값을 만들어내는 함수이다.

n: 위 식에 나타나있지는 않지만, state vector의 요소 개수로 system order라고 부르며 state-space의 차원을 결정한다.

 

이 시스템은 어떤 특정 초기 조건을 가진채로 문제를 해결한다.

필요한 초기 조건을 다음과 같다.

• t1인 지점에서의 x(t1)의 값(state vector의 초기 값)
• t1에서 t2까지의 u(t)의 값(시간의 변화에 따른 외부 변화의 요인)

  위 식은 여러가지 조건에 의해서 간편화 될 수 있는데, 시간에 따라 무관하면 time invariant 시스템이 된다. 또한 여기에서 만약 system이 linear 하게 된다면 위 식의 해를 간단하게 나타낼 수 있다. 실제로 꽤 많은 시스템이 linear로 근사된다. 이러한 두 가지 근사 조건이 붙게 된다면 아래와 같이 단순화 할 수 있다.

Simplified model

  이런 Dynamic System을 Linear time-invariant(LTI) system이라고 한다.

 

Sate-Space Represenatation

Continous linear time-inverant (LTI) System에 대해서 standard state-space representatio은 다음과 같다. 차원도 함께 고려하고자 한다.

x: state vector (n x 1)

u: input or control vector(input을 원하는대로 넣어주면 control이 가능하기 때문) (n x 1)

y: output vector (q x 1)

A: system matrix(n x n)

B: input matrix (n x p)

C: output matrix(q x n)

D: feedforward matrix(q x p)

 

Euler's equation(rigid body dynamics)

  Euler's equation은 first-order differential equation으로 물체의 회전 운동을 기술하는 것을 의미한다. 식으로 표현하면 다음과 같다.

Euler's equation

이를 실제 3차원 직교 좌표계에 적용하면 다음과 같이 표현될 수 있다.

이를 위에서 표현했던 Dynamic system의 계로 바꾸면 다음과 같다.